# 1201. 丑数 III (Medium)

## 问题描述

[1201. 丑数 III][link] (Medium)

[link]: https://leetcode.cn/problems/ugly-number-iii/

给你四个整数： `n` 、 `a` 、 `b` 、 `c` ，请你设计一个算法来找出第 `n` 个丑数。

丑数是可以被 `a` **或** `b` **或** `c` 整除的 **正整数** 。

**示例 1：**

```
输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10... 其中第 3 个是 4。
```

**示例 2：**

```
输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12... 其中第 4 个是 6。
```

**示例 3：**

```
输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
输出：10
解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13... 其中第 5 个是 10。
```

**示例 4：**

```
输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984
```

**提示：**

- `1 <= n, a, b, c <= 10^9`
- `1 <= a * b * c <= 10^18`
- 本题结果在 `[1, 2 * 10^9]` 的范围内

## 解题思路

二分 + 容斥原理。

我们要二分的就是第 $n$ 个丑数的值 $val$，如果 $val < res$，那么它的序数一定小于 $n$。

判断序数的方法即容斥原理，这里要注意 $a, b, c$ 不一定互质，要取最小公倍数！

## 代码

```cpp
class Solution {
  public:
    bool check(int n, long a, long b, long c, long target) {
        long ab = a * b / gcd(a, b);
        long bc = b * c / gcd(b, c);
        long ac = a * c / gcd(a, c);
        long abc = ab * c / gcd(ab, c);
        return target / a + target / b + target / c - target / ab - target / bc - target / ac + target / abc < n;
    }
    int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {
        long l = 0, r = 2e10;
        while (l < r) {
            long mid = l + (r - l) / 2;
            if (check(n, a, b, c, mid)) {
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid;
            }
        }
        return l;
    }
};
```