# 1595. 连通两组点的最小成本 (Hard)

## 问题描述

[1595. 连通两组点的最小成本][link] (Hard)

[link]: https://leetcode.cn/problems/minimum-cost-to-connect-two-groups-of-points/

给你两组点，其中第一组中有 `size₁` 个点，第二组中有 `size₂` 个点，且 `size₁ >= size₂` 。

任意两点间的连接成本 `cost` 由大小为 `size₁ x size₂` 矩阵给出，其中 `cost[i][j]` 是第一组中的点 `i` 
和第二组中的点 `j` 的连接成本。 **如果两个组中的每个点都与另一组中的一个或多个点连接，则称这两组点是
连通的。** 换言之，第一组中的每个点必须至少与第二组中的一个点连接，且第二组中的每个点必须至少与第一
组中的一个点连接。

返回连通两组点所需的最小成本。

**示例 1：**

![](https://pic-upyun.zwyyy456.tech/smms/2023-12-26-065328.jpg)

```
输入：cost = [[15, 96], [36, 2]]
输出：17
解释：连通两组点的最佳方法是：
1--A
2--B
总成本为 17 。

```

**示例 2：**

![](https://pic-upyun.zwyyy456.tech/smms/2023-12-26-065329.jpg)

```
输入：cost = [[1, 3, 5], [4, 1, 1], [1, 5, 3]]
输出：4
解释：连通两组点的最佳方法是：
1--A
2--B
2--C
3--A
最小成本为 4 。
请注意，虽然有多个点连接到第一组中的点 2 和第二组中的点 A ，但由于题目并不限制连接点的数目，所以只需
要关心最低总成本。
```

**示例 3：**

```
输入：cost = [[2, 5, 1], [3, 4, 7], [8, 1, 2], [6, 2, 4], [3, 8, 8]]
输出：10

```

**提示：**

- `size₁ == cost.length`
- `size₂ == cost[i].length`
- `1 <= size₁, size₂ <= 12`
- `size₁ >= size₂`
- `0 <= cost[i][j] <= 100`

## 解题思路

动态规划 + 状态压缩

我们用二进制数 $j$ 表示对第二组选择的元素的集合，`dp[i][j]` 表示对第一组的前 $i$ 个数组成的的集合，以及第二组中元素的集合 $j$，这两个集合的最小联通成本。

那么如何思考递推关系呢，对第一组的元素，我们考虑第 $i$ 个元素，同时枚举集合中的元素 $k$，（$k$ 表示元素索引），那么有以下几种情况：

- 第 $i$ 个元素只与 $k$ 相连，那么可以分两种情况：
    - 第二组索引为 $k$ 的元素只与第 $i$ 个元素相连：$dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j\oplus(1 << k)] + cost[i - 1][k])$；
    - 第二组索引为 $k$ 的元素不只与第 $i$ 个元素相连：$dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j] + cost[i - 1][k])$；
- 第 $i$ 个元素不只与 $k$ 相连，那么可以再分两种情况。
    - 第二组的索引为 $k$ 的元素只与第 $i$ 个元素相连：$dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j\oplus (1 << k)] + cost[i - 1][k])$；
    - 第二组的索引为 $k$ 的元素与除了第 $i$ 个元素之外的其他元素也相连，那么这时候第 $i$ 个元素不需要与索引为 $k$ 的元素相连了，因此不用考虑，假设强行连接第 $i$ 个元素和元素 $k$，那么必然会出现多余的边，去掉多余的边，则情况变成了枚举 $k_1$ 或者 $k$ 或者 $k2$ 的上述三种情况了。

注意每次枚举 $k$ 时，都要与之前计算过的 $dp[i][j]$ 进行比较！同时 for 循环中一旦出现不满足判断条件了情况，就会终止循环了！

## 代码

```cpp
class Solution {
  public:
    int connectTwoGroups(vector<vector<int>> &cost) {
        int m = cost.size(), n = cost[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(1 << n, INT_MAX));
        dp[0][0] = 0;
        // dp[i][j] 表示前 i 个点与集合 j 的最小值
        // 对点 i - 1，枚举集合 j 中的点 k，如果 k 只与点 i - 1 相连，dp[i][j] = dp[i][j\k] + cost[i - 1][k];
        // 如果点 i - 1 只与 k 相连，那么 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j\k], dp[i - 1][j]) + cost[i - 1][k]
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j < (1 << n); ++j) {
                for (int k = 0; (1 << k) <= j; ++k) {
                    if (((1 << k) & j) == 0) {
                        continue;
                    }
                    int tmp = min(dp[i][j ^ (1 << k)], min(dp[i - 1][j ^ (1 << k)], dp[i - 1][j])) + cost[i - 1][k];
                    dp[i][j] = min(tmp, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return dp[m][(1 << n) - 1];
    }
};
```