# 403.青蛙过河

## 问题描述
[403. 青蛙过河 (Hard)](https://leetcode.cn/problems/frog-jump/)

一只青蛙想要过河。 假定河流被等分为若干个单元格，并且在每一个单元格内都有可能放有一块石子（也有可能没有）。
青蛙可以跳上石子，但是不可以跳入水中。

给你石子的位置列表 `stones`（用单元格序号 **升序** 表示），
请判定青蛙能否成功过河（即能否在最后一步跳至最后一块石子上）。开始时，
青蛙默认已站在第一块石子上，并可以假定它第一步只能跳跃 `1` 个单位（即只能从单元格 1 跳至单元格 2 ）。

如果青蛙上一步跳跃了 `k` 个单位，那么它接下来的跳跃距离只能选择为 `k - 1`、 `k` 或 `k + 1`
个单位。 另请注意，青蛙只能向前方（终点的方向）跳跃。

**示例 1：**

```
输入：stones = [0,1,3,5,6,8,12,17]
输出：true
解释：青蛙可以成功过河，按照如下方案跳跃：跳 1 个单位到第 2 块石子, 然后跳 2 个单位到第 3 块石子, 接着
跳 2 个单位到第 4 块石子, 然后跳 3 个单位到第 6 块石子, 跳 4 个单位到第 7 块石子, 最后，跳 5
个单位到第 8 个石子（即最后一块石子）。
```

**示例 2：**

```
输入：stones = [0,1,2,3,4,8,9,11]
输出：false
解释：这是因为第 5 和第 6 个石子之间的间距太大，没有可选的方案供青蛙跳跃过去。
```

**提示：**

- `2 <= stones.length <= 2000`
- `0 <= stones[i] <= 2³¹ - 1`
- `stones[0] == 0`
- `stones` 按严格升序排列

## 解题思路
### 记忆化搜索
我们考虑`dfs(i, k)`表示从第`i`个石子跳`k`步，之后能否到达终点；
- 如果从第`i`个石子跳`k`步，不能到达另一个石子，`return false;`；
- 否则，记从第`i`个石子跳`k`步到达的新石头的索引为`new_idx`，那么只要从`new_idx`跳`k + 1`, `k`, `k - 1`任意一步能到达终点，则`dfs(i, k)`返回的结果为`true`。

边界条件`if (idx == stones.size() - 1) return true;`，同时`k`不能为0， 为0则`return false;`

### 动态规划
记`dp[i][k]`为到达从上一个石子处跳`k`个单位到达第`i`个石子（注意这里的上一个石子并不一定是第`i - 1`石子，而是`stones[i] - k`位置对应的的石子，记该索引为`pre_idx = ump[stones[i] - k]`），对应的状态转移方程为：
`dp[i] = dp[pre_idx][k] || dp[pre_idx][k - 1] || dp[pre_idx][k + 1];`，这里`dp[i][k]`应该初始化为`false`， 同时`dp[0][0] = true;`

### bfs
其实就是记忆化搜索的翻版，`visited`数组变成`vector<vector<bool>> visited(stones.size(), vector<bool>(stones.size() + 1, false));`，分别表示石子坐标和到达该坐标的步数；

注意`pair`入队时，要更新`visited`数组

### bfs

## 代码
### 记忆化搜索
```cpp
class Solution {
  public:
    bool dfs(int start_idx, int mv_step, vector<int> &stones, unordered_map<int, int> &ump, vector<vector<int>> &cache) {
        if (start_idx == stones.size() - 1) {
            return true; // ?这里不确定
        }
        if (mv_step <= 0) {
            return false;
        }
        if (ump.find(stones[start_idx] + mv_step) != ump.end()) {
            if (cache[start_idx][mv_step] > -1)
                return cache[start_idx][mv_step];
            int new_idx = ump[stones[start_idx] + mv_step];
            cache[start_idx][mv_step] = dfs(new_idx, mv_step - 1, stones, ump, cache) || dfs(new_idx, mv_step, stones, ump, cache) || dfs(new_idx, mv_step + 1, stones, ump, cache);
            return cache[start_idx][mv_step];
        }
        return false;
    }
    bool canCross(vector<int> &stones) {
        // 尝试记忆化搜索的写法
        unordered_map<int, int> ump;
        for (int i = 0; i < stones.size(); ++i) {
            ump[stones[i]] = i;
        }
        vector<vector<int>> cache(stones.size(), vector<int>(stones.size() + 1, -1));
        return dfs(0, 1, stones, ump, cache);
    }
};
```

### 动态规划
```cpp
class Solution {
  public:
    bool canCross(vector<int> &stones) {
        unordered_map<int, int> ump;
        for (int i = 0; i < stones.size(); ++i) {
            ump[stones[i]] = i;
        }
        // 跳了k步，到达stones[i], dp[i][k];
        vector<vector<bool>> dp(stones.size(), vector<bool>(stones.size() + 1, false));
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 1; i < stones.size(); ++i) {
            for (int k = 1; k <= i; ++k) {
                if (ump.find(stones[i] - k) != ump.end()) {
                    int pre_idx = ump[stones[i] - k];
                    dp[i][k] = dp[pre_idx][k] || dp[pre_idx][k - 1] || dp[pre_idx][k + 1];
                }
            }
        }
        for (int k = 1; k < stones.size(); ++k) {
            if (dp[stones.size() - 1][k]) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
};
```

### bfs
```cpp
class Solution {
  public:
    bool canCross(vector<int> &stones) {
        if (stones[1] > 1) {
            return false;
        }
        vector<vector<bool>> visited(stones.size(), vector<bool>(stones.size() + 1, false));
        visited[1][1] = true;
        unordered_map<int, int> ump;
        for (int i = 0; i < stones.size(); ++i) {
            ump[stones[i]] = i;
        }
        queue<pair<int, int>> q;
        q.push({1, 1});
        while (!q.empty()) {
            auto [idx, mv_step] = q.front();
            q.pop();
            if (idx == stones.size() - 1)
                return true;
            for (int i = mv_step + 1; i > 0 && i >= mv_step - 1; --i) {
                if (ump.find(stones[idx] + i) != ump.end()) {
                    int new_idx = ump[stones[idx] + i];
                    if (visited[new_idx][i] == false) { // 说明这个点没有被访问过
                        visited[new_idx][i] = true;
                        q.push({new_idx, i});
                    }
                }
            }
        }
        return false;
    }
};
```